Unity游戏开发——向量运算（点乘和叉乘）

0.前言

在游戏开发中，确定目标得方向，朝向，夹角等相关数据需要用到向量的计算，其中最常用到的就时点乘和叉乘。
因为我们主要研究的是游戏开发中的3D世界向量，所以小面的介绍会以几何定义为主，不研究其代数定义。

1.点乘

定义
点乘又称点积、数量积、标量积。
从几何角度看，点乘是两个向量的长度和它们的夹角余玄值的积。

从名称和定义来看，点乘的结果是标量。点乘的名称也源自与点乘的运算符号。

通过上面的公式，我们也可以得到如下公式。

也就是说如果给定了两个向量，那么我们就可以求出两个向量的夹角。

关于这里的计算需要插播一个点。**当两个单位向量的长度都为1的时候，向量的点乘就是它们夹角的余玄值。**在游戏开发中会有归一化的操作，然后直接求夹角的情况，如果对这个知识点没有了解，可能看不懂夹角计算的原理。
我们通过点积公式可以看出来a,b都是标量，都是正数，余玄值会根据角度有正负变化。
当（0-90）°的始后，余玄值是正数，整个点乘公式都是正的。
当90°的时候，余玄值为0，整个公式为0.
当（90-180）°的时候，余玄值为负数，整个公式为负的。

在Unity中的应用

using UnityEngine;
public class Example : MonoBehaviour
{ 
    public Transform cubeRed;//敌人
    public Transform cubeBlue;//玩家自身

    void Update()
    { 
        if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))
        { 
            CalculateDot();
        }
    }
    private void CalculateDot()
    { 
        //先计算出敌人相对自身的位置信息
        Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;
        //再使用自身正方向与相对方向两个向量做点乘的相关运算
        Vector3 cubeForward = cubeRed.forward;
        //计算两个向量的点乘
        //如果大于0说明敌人在玩家自身前方
        //如果小于0说明敌人在玩家自身后方
        //如果等于0说明玩家在玩家自身的左右
        float result = Vector3.Dot(cubeForward, relativePosition);
        Debug.Log($"点积的结果：{result}");
        //得到两个向量后，可以直接计算其夹角
        float angle = Vector3.Angle(cubeForward, relativePosition);
        Debug.Log($"两个向量的夹角：{angle}");

        //这是前面说到的当两个向量的长度都为1时，点乘的结果就是夹角的余玄值
        float cos = Vector3.Dot(cubeForward.normalized, relativePosition.normalized);
        Debug.Log($"余玄值：{cos}");
        //通过反余玄函数得到两个向量的角度
        //不过这里得到的时弧度值，并不是角度值
        float radians = Mathf.Acos(cos);
        Debug.Log($"通过余玄值求弧度：{radians}");
        //弧度值通过数据转换成角度值
        angle = radians * Mathf.Rad2Deg;
        Debug.Log($"把弧度转换成角度：{angle}");

    }
}

得到的结果如图所示，当敌人在自身后方时，点乘的结果小于0，当敌人在自身前方时，点乘的结果大于0。

2叉乘

定义

又称叉积、向量积

首先叉乘的结果是向量不是标量。

叉乘的名称也来源于符号

叉乘的公式定义稍微复杂一点

叉乘最后的结果是一个向量，大小可以根据公式算出，但是方向要根据右手法则确定。

实际上Unity中用的是左手坐标系，所以确定方向的时候我们要用左手法则，最后得到的方向正好与右手法则相反。所以两个向量的叉乘并不是一个真向量，它受参照系的影响，这个在以后的计算中要注意我们使用的到底是哪种坐标系。

几何意义

如果以向量a和b为边构成一个平行四边形，那么这两个向量的叉乘的模长与这个平行四边形的面积相等。

其实这个概念很好理解。我们不考虑叉乘方向的问题，叉乘的模长就是absinθ，其实也就是平行四边形面积公式中的底乘高。

在Unity中的应用

  private void CalculateCross()
    { 
        Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;
        Vector3 cubeForward = cubeBlue.forward;
        Vector3 result = Vector3.Cross(cubeForward, relativePosition);
        Debug.Log(result.y);
    }

根据左手定则，y轴是法向量的方向，当y大于零的时候，敌人在我方右边，当y小于零的时候，敌人在我方左边。
在实际开发中，我们可以用叉乘来判断最优转向角，根据敌人的方位，判断我们应该向什么方向是最快的。

3总结

简单来说，在两个物体的位置关系判断中。

点乘可以判断出目标物体在我的前方还是后方。大于零在前方，小于零在后方。

叉乘可以判断出目标物体在我的左边还是右边。大于零在右方，小于零在左方。

在计算机图形学中。

点乘可以用来计算夹角余弦值。

叉乘可以用来计算平面法向量。

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