知识点梳理：
1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集
（1）子集、真子集
定义1：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合叫作集合
的子集，记作:或（读作：包含于或包含）
注1：（1）有两种可能：①中所有元素是中的一部分元素；②与是中的所有元素都相同；（2）空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定是的子集，即判定“任意”.
定义2：对于两个集合A与B，如果且，那么叫做集合等于集合，记作=（读作集合等于集合
）；注2：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；[来源:学|科|网]
（2）判定，即判定“任意，且任意”.定义3：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做的真子集，记作：或，读作真包含于或真包含.注2：（1）空集是任何非空集合的真子集，
（3）子集与真子集符号的方向
（4）易混符号：①“”与“”②与
2、两个集合的运算关系——交集、并集、补集
（1）交集
定义：由所有属于集合
的元素所组成的集合，叫做集合，记作，即根据定义可知是由集合的公共元素组成的集合，如果集合没有公共元素，则,这一条可以看成是对定义的补充，所以又有了
（2）并集
定义：由所有属于集合
或属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与集合的并集，记为，即
（3）补集
n 全集定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作
U。
[说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合看作全集U。
n 补集定义
一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即A
U），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈u，且
x
A}，读作“A补”。
举例说明：解决某些数学问题时，如果
把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合
补集的性质
① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A
[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。
4、运算律
（1）根据交集和补集的定义容易知道，交集与并集满足交换律，即
（2）根据子集和真子集的定义易知包含关系满足传递性，即若
（3）交集运算满足结合律，即
（4）
典型例题
例1、已知集合
_________
例2、已知全集，且,求
例3、设全集
例4、若集合A=
，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。（补充）
① U=
② U=
③U=
例5、设U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，
① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)
，CuA∪CuB
②从上述结论中，你发现有什么结论？
③对任意的集合A，B，请你用集合的图示法说明是否有以上结论
巩固练习
（1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的学生干部}，求A，B，
的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））
(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。
（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，则CuA= 。
（4）若U={1，3，a2 2a 1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。
(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。
（6）设、，集合，则（ ）
（7）定义集合运算：，设，，则集合
的所有元素之和为（ ）
（8）若、、为三个集合，，则一定有（ ）
（9）已知，，若,则实数
（10）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（ ）
（11）设，对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
（12）已知A={x∣x 4x=0 },B={ x∣x 2(a 1)x a-1=0}
1) 若A
B=B，求a的值
2) 若A
B=B，求a的值
课后练习
一、选择：
1、设集合
M＝
,
R，
R
，N＝
，
R，
R
，则集合
中元
素的个数为 （
）
（A）1
（B）2 （C）3 （D）4
2、已知集合M={x|x2 14x 48<0},S={x|2a2 ax－x2<0}，若M S，则实数a∈ （ ）
A．
B．[－3，6] C．
D．
3、设全集U={(x,y
)|x、y∈R}，集合M={(x，y)|
=1| N={(x，y)|y≠x 1}那么M∪N的补集等于（ ）
A．0
B．{（2，3）} C．（2，3） D．{(x，y)|y=x 1}
4、设集合
，
，那么“
”是“
”的（
）
A．充分而
不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、设P和Q是两个集合，定义集合
=
，如果
，
那么
等于（ ）
A．{x|0<x<1
} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} [来源:学科网ZX
XK]
二、填空：
6、设集合
A＝｛5，
｝，集合B＝｛
,
｝．若A
B＝｛2｝，则A
B＝
7、设非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x 3,x
A}
, C={z|z= x
,x
A },且B∩
C
=C，则实数a的取值范围 。[来源:Z#xx#k.Com]
8、定义差集：M－N＝{x｜ｘ
Ｍ，且ｘ
Ｎ}，若M＝{2，4，6，8，10
}
N＝{1，2，3，4，
5}，则M－（M－N）＝
9、集合M={（x，y）│y
=
，x，y∈R}，N={（x，y）│x=
1，y∈
R}，则M∩N=_______
10、设集合M={x│m≤x≤m
}，N={x│n-
≤x≤n}，且M，N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a称为集合{x│a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度“的最小值是_____________
______
三、解答
11、已知A={x|x2 px q=0},B={x|x2－3x 2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q
的值。[来源:学科网ZXXK]
12、已知集合
求实数
的取值范围。
[来源:学科网ZXXK]
13、已知集合
，集合
，若
，求实数
的取值
范围。
14、已知集合
，集
合
⑴若
，求正数
的取值范围；⑵若
,求正数
的取值范围