美国高考数学题（大家热议的美国数学百思特网高考题）
之前曾把下面这道美国数学高考题发到今日头条，没想到竟然获得了25万展现和858条留言。前几天我在指出《隐秘的角落》里关于张东升所画的错误心形线的文章里，也谈到了这个问题，结果同样引起了不少人的讨论。现在，该是给这个问题一个交代的时候了。
问题是这样的：
小圆的半径是大圆的1/3，大圆固定不动，小圆绕大圆滚一圈回到原位，请问小圆自己转了几圈？
这个问题的正确答案为4圈。为什么30万人只有3人答对了，原因就在于正确答案并未出现在选项中。出题人着实把大家坑了一把。事实上，这个问题也被称为“硬币悖论”， 也就是结果与人们的直觉认知相悖。
对于百思特网这一问题，许多人认为答案就应该是3圈，因为大圆周长就是小圆的3倍。给出4圈这一正确答案的，其解释也是五花八门，下面我对一些主要的答案逐一解释。
1. 自转公转论
小圆自转3圈，绕着大圆公转1圈，一共转了4圈。
这一答案堪称最具欺骗性解答。听上去似乎很有道理，4圈的答案也对，还能傍上地球自转和公转的理论。呃，大家都这么说，那我也假装自己懂了吧。回答4圈的人中估摸有一多半人是这么想的，其实根本没有深入去思考。
真的是这样吗？我们再来看看这个问题问的是什么？
题目问的是小圆自己转了多少圈，就是小圆绕着自己的中心转了几圈，这就是自转的概念。如果说自转3圈，那答案就应该是3圈才对。公转讲的是小圆绕着大圆的中心转，跟自转无关。实际上，小圆即便不自转，也可以绕着大圆的中心公转一圈。在这个问题里，小圆确实绕大圆公转了1圈，但这跟小圆自转几圈没有关系。因为，小圆自转就有4圈。也就是说，小圆自转了4圈，公转了1圈。
2. 圆心轨迹法
小圆的圆心运动轨迹也是个圆，其半径为4r，所以走过的长度为8r。小圆每自转一圈圆心走过2r，因此转了4圈。
如果是小圆在平地上滚，确实每走过2r就是绕着圆心转一圈。
但到绕着大圆滚这个问题里，首先得证明圆心走过2r的长度，小圆绕着圆心转了360这个结论。即如下图所示，小圆圆心走过2r的距离，恰好走过小圆圆心所在圆周长的1/4，为什么此时小圆正好绕着自己的圆心转了一圈？没有证明过程，直接拿平地的结论搬过来是不严谨的。
还有人说小圆上每个点走过的长度等于小圆圆心走的长度，所以如此。这个结论就不对了，后面再讲。
3. 质点法
质点法类似于圆心轨迹法。即把小圆看成一个质点，从而小圆的运动轨迹是一个半径为4r的圆，质点一共走了8r的长度，每走2r的长度绕圆心转一圈，所以转了4圈。这个方法首先得理解什么是质点，其次，与圆心轨迹法一样，也需要证明一个之前的那个小结论才行。
4. 相对运动法
小圆和大圆如果各自固定圆心，类似于齿轮一样同时转动，那么小圆顺时针转3圈，大圆逆时针转1圈，小圆相对于大圆转了4圈。现在大圆固定不动，小圆需要相对于大圆转4圈才行。这个解释是可以的，但相对运动对于大部分人（特别是孩子）而言，还是太过于抽象了。
那么，有没有一种比较直观的解释呢？我下面给出的方法是纯粹从数学几何关系来解释的，学过角度和圆周长的小学高年级学生应该都能理解。
5. 纯几何方法
这个问题里有一点是确定的，即小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚过2r的长度即1/3大圆的周长，滚到了如下图所示的位置，此时小圆绕着自己的圆心转了360+120=480。小圆贴着大圆滚6r的长度正好滚回原点，此时转了4803=1440。1440360=4圈。
6. 心形线的长度
刚才提到，在第二种方法中，有人认为小圆上任何一点走过的长度与百思特网圆心走过的长度是一样的，真的是这样吗？
不妨再看一下类似的但更简单一点的心形线，也就是两个圆的半径一样时的情况。在之前《隐藏在《隐秘的角落》里的错误心形线》这篇文章中，给出了心形线的极坐标方程表示。
此时，由极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以求得心形线的长度为16a（具体计算过程如下），而小圆圆心走的轨迹是一个半径为2a的圆，因此走的长度为4a。也就是说，在这种滚动的问题里，圆心走过的长度和圆上任意一点走过的长度是不一样的。
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